题目
设区域 D=(x,y)|x^2+y^2 leq a^2, a >0, y geq 0，则 iint_(D)(x^2+y^2), dx , dy= _______. A. int_(0)^pi , dtheta int_(0)^a rho^3 , drhoB. int_(0)^pi , dtheta int_(0)^a rho^2 , drhoC. int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2) , dtheta int_(0)^a rho^3 , drhoD. int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2) , dtheta int_(0)^a rho^2 , drho
设区域 $D=\{(x,y)|x^2+y^2 \leq a^2, a >0, y \geq 0\}$，则 $\iint_{D}(x^2+y^2)\, dx \, dy=$ _______.
- A. $\int_{0}^{\pi} \, d\theta \int_{0}^{a} \rho^3 \, d\rho$
- B. $\int_{0}^{\pi} \, d\theta \int_{0}^{a} \rho^2 \, d\rho$
- C. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, d\theta \int_{0}^{a} \rho^3 \, d\rho$
- D. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, d\theta \int_{0}^{a} \rho^2 \, d\rho$
题目解答
答案
将区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，且 $dx \, dy = \rho \, d\rho \, d\theta$。
区域 $D$ 在极坐标中为 $\rho$ 从 $0$ 到 $a$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。
被积函数 $x^2 + y^2$ 变为 $\rho^2$，乘以面积元素 $\rho$ 得 $\rho^3$。
因此，二重积分为：
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \rho^3 \, d\rho \, d\theta
\]
对应选项 **A**。
答案：$\boxed{A}$
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将直角坐标系下的区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，且 $dx \, dy = \rho \, d\rho \, d\theta$。区域 $D$ 在极坐标中为 $\rho$ 从 $0$ 到 $a$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。
步骤 2：被积函数转换
被积函数 $x^2 + y^2$ 在极坐标系中变为 $\rho^2$，乘以面积元素 $\rho$ 得 $\rho^3$。
步骤 3：计算二重积分
将被积函数和面积元素代入二重积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \rho^3 \, d\rho \, d\theta \]
将直角坐标系下的区域 $D$ 转换为极坐标系，其中 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，且 $dx \, dy = \rho \, d\rho \, d\theta$。区域 $D$ 在极坐标中为 $\rho$ 从 $0$ 到 $a$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。
步骤 2：被积函数转换
被积函数 $x^2 + y^2$ 在极坐标系中变为 $\rho^2$，乘以面积元素 $\rho$ 得 $\rho^3$。
步骤 3：计算二重积分
将被积函数和面积元素代入二重积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \rho^3 \, d\rho \, d\theta \]