题目
2.（填空题，2.0分）积分int_(-infty)^+inftysin((pi)/(2)t)delta(t-1)dt的值为____。
2.（填空题，2.0分）
积分$\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(\frac{\pi}{2}t)\delta(t-1)dt$的值为____。
题目解答
答案
根据狄拉克 delta 函数的性质，对于连续函数 $f(t)$，有
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t-a) \, dt = f(a).
\]
在本题中，$f(t) = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$，$a = 1$，代入得
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \delta(t-1) \, dt = \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 1\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.
\]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
本题考查狄拉克 delta 函数（$\delta$函数）的筛选性质。解题思路是利用狄拉克 delta 函数的筛选性质来计算给定的积分。狄拉克 delta 函数的筛选性质表明，对于连续函数 $f(t)$，积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t - a) dt$ 的值等于函数 $f(t)$ 在 $t = a$ 处的取值，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta(t - a) dt = f(a)$。
下面我们来具体计算本题的积分：
- 首先，明确本题中的函数 $f(t)$ 和 $a$ 的值。在积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(\frac{\pi}{2}t)\delta(t - 1)dt$ 中，$f(t)=\sin(\frac{\pi}{2}t)$，$a = 1$。
- 然后，根据狄拉克 delta 函数的筛选性质，将 $a = 1$ 代入函数 $f(t)$ 中，得到：
$\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(\frac{\pi}{2}t)\delta(t - 1)dt&=f(1)\\&=\sin(\frac{\pi}{2}\times1)\\&=\sin(\frac{\pi}{2})\end{align*}$ - 最后，根据三角函数的特殊值可知，$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$。