假设有一种仪器可检验癌症，其结果为阳性和阴性， 其检测精度为：对于确定有癌症的人，检测为阳性的 概率为0.98；对于确定没有癌症的人，检测为阴性的 概率为0.97。同时统计数据表明患癌的人的比例为 0.03。如果某人用该仪器检验的结果为阳性，则根据 贝叶斯推理，应做出以下结论（）。A. 该人有癌症B. 该人没有癌症C. 证据不足D. 仪器有误

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的计算，以及如何根据检测结果更新先验概率，得出后验概率以判断结论。

解题核心思路：

1. 明确已知条件：检测的真阳性率（有癌时阳性概率）、真阴性率（无癌时阴性概率）、人群中的患癌率（先验概率）。
2. 计算总阳性概率：考虑所有可能的阳性来源（真阳性 + 假阳性）。
3. 应用贝叶斯定理：计算在阳性结果下实际有癌的后验概率。
4. 判断结论：根据后验概率是否超过50%决定是否有足够证据支持诊断。

破题关键点：

• 正确计算假阳性率（无癌时阳性概率为 $1 - 0.97 = 0.03$）。
• 区分分母总阳性概率（真阳性 + 假阳性），避免直接比较真阳性率与患癌率。

步骤1：整理已知条件

• 有癌时阳性概率：$P(P|C) = 0.98$
• 无癌时阴性概率：$P(\neg P|\neg C) = 0.97$ → 无癌时阳性概率：$P(P|\neg C) = 1 - 0.97 = 0.03$
• 患癌先验概率：$P(C) = 0.03$，无癌概率：$P(\neg C) = 1 - 0.03 = 0.97$

步骤2：计算总阳性概率 $P(P)$

总阳性由两部分组成：

1. 真阳性：$P(P|C) \cdot P(C) = 0.98 \cdot 0.03 = 0.0294$
2. 假阳性：$P(P|\neg C) \cdot P(\neg C) = 0.03 \cdot 0.97 = 0.0291$
   总阳性概率：
   $P(P) = 0.0294 + 0.0291 = 0.0585$

步骤3：应用贝叶斯定理计算后验概率 $P(C|P)$

$P(C|P) = \frac{P(P|C) \cdot P(C)}{P(P)} = \frac{0.98 \cdot 0.03}{0.0585} \approx \frac{0.0294}{0.0585} \approx 0.4991$

步骤4：分析结果

后验概率 $P(C|P) \approx 49.91\%$，即检测阳性时有癌的概率略低于50%。证据不足支持明确诊断，因此选择 C。