2020山东高数三)已知函数f(x)=(x+1)/(x-1),xin(1,+infty)，求复合函数f[f(x)].

考查要点：本题主要考查复合函数的求法，以及分式运算的化简能力，同时需要验证复合函数定义域的合理性。

解题核心思路：

1. 代入法：将外层函数的输入替换为内层函数的结果，逐步代入计算。
2. 分式化简：通过通分、约分等步骤简化复合函数表达式。
3. 定义域验证：确保复合过程中每一步的输出值均满足后续函数的定义域要求。

破题关键点：

• 正确代入：将$f(x)$代入自身时，需注意分子分母的运算顺序。
• 分式化简技巧：通过通分合并分子分母，再利用分数除法规则简化表达式。
• 定义域分析：验证$f(x)$的输出是否满足原函数$f$的定义域，确保复合函数的合法性。

步骤1：写出复合函数表达式
复合函数$f[f(x)]$表示将$f(x)$的输出再次代入$f$中，即：
$f[f(x)] = f\left( \frac{x+1}{x-1} \right)$

步骤2：代入并展开
将$y = \frac{x+1}{x-1}$代入$f(y)$的表达式：
$f(y) = \frac{y + 1}{y - 1} = \frac{\frac{x+1}{x-1} + 1}{\frac{x+1}{x-1} - 1}$

步骤3：通分化简分子和分母

• 分子部分：
  $\frac{x+1}{x-1} + 1 = \frac{x+1 + (x-1)}{x-1} = \frac{2x}{x-1}$
• 分母部分：
  $\frac{x+1}{x-1} - 1 = \frac{x+1 - (x-1)}{x-1} = \frac{2}{x-1}$

步骤4：整体化简
将分子和分母代入原式：
$f[f(x)] = \frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} = \frac{2x}{x-1} \times \frac{x-1}{2} = x$

步骤5：验证定义域
当$x > 1$时，计算$f(x) = \frac{x+1}{x-1}$的值：
$\frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} > 1 \quad (\text{因} \ x-1 > 0)$
因此，$f(x)$的输出满足$f$的定义域，复合函数合法。