题目

3、求向量组a_(1)=(1,0,2,1)^T,a_(2)=(1,2,0,1)^T,a_(3)=(2,1,3,0)^T,a_(4)=(2,5,-1,4)^T的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示

3、求向量组$a_{1}=(1,0,2,1)^{T},a_{2}=(1,2,0,1)^{T},a_{3}=(2,1,3,0)^{T},a_{4}=(2,5,-1,4)^{T}$的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示

题目解答

答案

将向量组构成矩阵 $ A $，进行初等行变换化为行最简形：
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\2 & 0 & 3 & -1 \\1 & 1 & 0 & 4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

从行最简形中，主元列对应向量 $ \mathbf{a}_1 $，$ \mathbf{a}_2 $，$ \mathbf{a}_3 $，构成极大无关组。非主元列 $ \mathbf{a}_4 $ 可由主元列线性表示：
$\mathbf{a}_4 = \mathbf{a}_1 + 3\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_3$

答案：
极大无关组：$ \mathbf{a}_1 $，$ \mathbf{a}_2 $，$ \mathbf{a}_3 $
线性表示：$ \mathbf{a}_4 = \mathbf{a}_1 + 3\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_3 $

$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{极大无关组：} & \mathbf{a}_1, & \mathbf{a}_2, & \mathbf{a}_3 \\\text{线性表示：} & \mathbf{a}_4 = & \mathbf{a}_1 + 3\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_3\end{array}}$

解析

本题考查向量组极大无关组的求解以及向量用极大无关组线性表示的知识。解题思路是将向量组构成矩阵，通过初等行变换将矩阵化为行最简形，根据行最简形中主元列确定极大无关组，再根据非主元列与主元列的关系得到其余向量用极大无关组的线性表示。

  1. 首先，将向量组$\mathbf{a}_{1}=(1,0,2,1)^{T},\mathbf{a}_{2}=(1,2,0,1)^{T},\mathbf{a}_{3}=(2,1,3,0)^{T},\mathbf{a}_{4}=(2,5,-1,4)^{T}$构成矩阵$A$：
    • $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\2 & 0 & 3 & -1 \\1 & 1 & 0 & 4\end{pmatrix}$
  2. 然后，对矩阵$A$进行初等行变换化为行最简形：
    • 第三行减去第一行的$2$倍，第四行减去第一行，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & -2 & -1 & -5 \\0 & 0 & -2 & 2\end{pmatrix}$。
    • 第三行加上第二行，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -2 & 2\end{pmatrix}$。
    • 交换第三行和第四行，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & -2 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
    • 第三行乘以$-\frac{1}{2}$，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 1 & 5 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
    • 第二行减去第三行，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 2 & 0 & 6 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
    • 第二行乘以$\frac{1}{2}$，得到$\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 2 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
    • 第一行减去第二行的$1$倍再减去第三行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
  3. 接着，根据行最简形确定极大无关组：
    • 行最简形中主元列是第$1$、$2$、$3$列，所以主元列对应向量$\mathbf{a}_{1}$，$\mathbf{a}_{2}$，$\mathbf{a}_{3}$构成极大无关组。
  4. 最后，根据行最简形得到非主元列向量用极大无关组的线性表示：
    • 行最简形中第四列$\begin{pmatrix}1 \\3 \\-1 \\0\end{pmatrix}$，这表示$\mathbf{a}_{4}$可由$\mathbf{a}_{1}$，$\mathbf{a}_{2}$，$\mathbf{a}_{3}$线性表示为$\mathbf{a}_{4} = 1\times\mathbf{a}_{1}+3\times\mathbf{a}_{2}+(-1)\times\mathbf{a}_{3}=\mathbf{a}_{1} + 3\mathbf{a}_{2} - \mathbf{a}_{3}$。