题目
8 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道,发射光子的频率 。当 n>>1 时光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。
8 试证明氢原子中的电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道,发射光子的频率 。当 n>>1 时光子频率即为电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。
题目解答
答案
证明:在氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为: 频率为: 当 n>> 时,有 ,所以在 n>>1 时,氢原子中电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的频率为: 。 设电子在第 n 轨道上的转动频率为 ,则 因此,在 n>>1 时,有 由上可见,当 n>>1 时,请原子中电子跃迁所发出的光子的频率即等于电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。这说明,在 n 很大时,玻尔理论过渡到经典理论,这就是对应原理。
解析
步骤 1：计算电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数
在氢原子中，电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：
\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
其中，\( R_H \) 是里德伯常数。
步骤 2：计算光子的频率
光子的频率 \( \nu \) 与波数 \( \frac{1}{\lambda} \) 的关系为：
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = c \cdot \frac{1}{\lambda} \]
其中，\( c \) 是光速。因此，光子的频率为：
\[ \nu = c \cdot R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
步骤 3：当 n>>1 时，光子频率的近似
当 \( n \) 很大时，可以近似地认为：
\[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \approx \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3} = \frac{2}{n^3} \]
因此，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot R_H \cdot \frac{2}{n^3} \]
步骤 4：计算电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率
电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率 \( \nu_e \) 为：
\[ \nu_e = \frac{v}{2\pi r_n} \]
其中，\( v \) 是电子的速度，\( r_n \) 是第 n 玻尔轨道的半径。根据玻尔模型，电子的速度 \( v \) 和半径 \( r_n \) 的关系为：
\[ v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n} \]
\[ r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2} \]
因此，电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率为：
\[ \nu_e = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n} \cdot \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2} = \frac{m e^4}{2\epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
步骤 5：比较光子频率和电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率
当 \( n \) 很大时，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot R_H \cdot \frac{2}{n^3} \]
电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率为：
\[ \nu_e = \frac{m e^4}{2\epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
根据里德伯常数的定义，有：
\[ R_H = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \]
因此，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \cdot \frac{2}{n^3} = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
当 \( n \) 很大时，光子的频率近似等于电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。
在氢原子中，电子从 n+1 轨道跃迁到 n 轨道所发光子的波数为：
\[ \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
其中，\( R_H \) 是里德伯常数。
步骤 2：计算光子的频率
光子的频率 \( \nu \) 与波数 \( \frac{1}{\lambda} \) 的关系为：
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} = c \cdot \frac{1}{\lambda} \]
其中，\( c \) 是光速。因此，光子的频率为：
\[ \nu = c \cdot R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
步骤 3：当 n>>1 时，光子频率的近似
当 \( n \) 很大时，可以近似地认为：
\[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \approx \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3} = \frac{2}{n^3} \]
因此，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot R_H \cdot \frac{2}{n^3} \]
步骤 4：计算电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率
电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率 \( \nu_e \) 为：
\[ \nu_e = \frac{v}{2\pi r_n} \]
其中，\( v \) 是电子的速度，\( r_n \) 是第 n 玻尔轨道的半径。根据玻尔模型，电子的速度 \( v \) 和半径 \( r_n \) 的关系为：
\[ v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n} \]
\[ r_n = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2} \]
因此，电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率为：
\[ \nu_e = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h n} \cdot \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2} = \frac{m e^4}{2\epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
步骤 5：比较光子频率和电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率
当 \( n \) 很大时，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot R_H \cdot \frac{2}{n^3} \]
电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率为：
\[ \nu_e = \frac{m e^4}{2\epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
根据里德伯常数的定义，有：
\[ R_H = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \]
因此，光子的频率近似为：
\[ \nu \approx c \cdot \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \cdot \frac{2}{n^3} = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3} \]
当 \( n \) 很大时，光子的频率近似等于电子绕第 n 玻尔轨道转动的频率。