8、已知f(x)在(-∞,+∞)上可导，且满足方程xf(x)-4int_(1)^xf(t)dt=x^3-3，求f(x).

考查要点：本题主要考查积分方程转化为微分方程的能力，以及一阶线性微分方程的解法。关键在于通过求导消去积分项，得到微分方程后，利用积分因子法求解。

解题思路：

1. 对方程两边求导，利用微积分基本定理处理积分项，将积分方程转化为微分方程。
2. 整理方程为一阶线性微分方程的标准形式。
3. 计算积分因子，求出通解。
4. 代入初始条件确定常数，得到特解。

步骤1：对方程两边求导

原方程：
$x f(x) - 4 \int_{1}^{x} f(t) \, dt = x^3 - 3$
对两边求导：

• 左边第一项导数为 $f(x) + x f'(x)$（乘积法则）。
• 左边第二项导数为 $-4 f(x)$（积分上限求导法则）。
• 右边导数为 $3x^2$。

整理得：
$f(x) + x f'(x) - 4 f(x) = 3x^2 \implies x f'(x) - 3 f(x) = 3x^2$

步骤2：整理为标准微分方程

将方程两边除以 $x$：
$f'(x) - \frac{3}{x} f(x) = 3x$
此时方程为一阶线性微分方程，标准形式为：
$f'(x) + P(x) f(x) = Q(x)$
其中 $P(x) = -\frac{3}{x}$，$Q(x) = 3x$。

步骤3：求积分因子

积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{-\int \frac{3}{x} \, dx} = e^{-3 \ln x} = x^{-3}$

步骤4：求通解

将方程两边乘以积分因子：
$x^{-3} f'(x) - 3 x^{-4} f(x) = 3x^{-2}$
左边为 $\frac{d}{dx} \left( x^{-3} f(x) \right)$，积分得：
$x^{-3} f(x) = \int 3x^{-2} \, dx = -\frac{3}{x} + C$
解得通解：
$f(x) = x^3 \left( -\frac{3}{x} + C \right) = -3x^2 + C x^3$

步骤5：确定常数 $C$

代入原方程中 $x=1$ 的情况：
$1 \cdot f(1) - 4 \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 1^3 - 3 \implies f(1) = -2$
代入通解：
$-2 = -3(1)^2 + C(1)^3 \implies C = 1$

最终解

$f(x) = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$