题目
451 设相互独立的两个随机变量X和Y均服从标准正态分布,则随机变量 -y 的概率-|||-密度函数的最大值等于 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量 $X-Y$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $X-Y$ 服从正态分布 $N(0,2)$。这是因为两个独立正态分布的线性组合仍然是正态分布，且均值为两个分布均值的线性组合，方差为两个分布方差的线性组合（考虑到 $X$ 和 $Y$ 的方差均为 $1$，$X-Y$ 的方差为 $1+1=2$）。
步骤 2：写出 $X-Y$ 的概率密度函数
$X-Y$ 的概率密度函数为 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\cdot \sqrt {2}}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2\times 2}}=\dfrac {1}{2\sqrt {\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{4}}$，其中 $-\infty \lt x\lt +\infty$。
步骤 3：确定概率密度函数的最大值
概率密度函数 $f(x)$ 的最大值出现在 $x=0$ 处，因为指数函数 ${e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{4}}$ 在 $x=0$ 处取得最大值 $1$，此时 $f(x)$ 的值为 $\dfrac {1}{2\sqrt {\pi }}$。
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $X-Y$ 服从正态分布 $N(0,2)$。这是因为两个独立正态分布的线性组合仍然是正态分布，且均值为两个分布均值的线性组合，方差为两个分布方差的线性组合（考虑到 $X$ 和 $Y$ 的方差均为 $1$，$X-Y$ 的方差为 $1+1=2$）。
步骤 2：写出 $X-Y$ 的概率密度函数
$X-Y$ 的概率密度函数为 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\cdot \sqrt {2}}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2\times 2}}=\dfrac {1}{2\sqrt {\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{4}}$，其中 $-\infty \lt x\lt +\infty$。
步骤 3：确定概率密度函数的最大值
概率密度函数 $f(x)$ 的最大值出现在 $x=0$ 处，因为指数函数 ${e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{4}}$ 在 $x=0$ 处取得最大值 $1$，此时 $f(x)$ 的值为 $\dfrac {1}{2\sqrt {\pi }}$。