题目
4.半径为R的带电球体,其电荷体密度为 rho =(k)_(r), K为正的常数,r为球心到球内任意-|||-点的矢径大小。求:-|||-(1)球内外的场强分布;-|||-(2)球内外的电势分布。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷分布的对称性
由于电荷分布具有球心对称性，其电场分布亦具有球心对称性，即离球心等距离的点场强大小相等、方向沿径向。
步骤 2：求解球内外的场强分布
- 对于 $r < R$ 区域，利用高斯定理 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=\dfrac {{q}_{A}}{{E}_{0}}$，其中左侧积分为 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=4\pi {r}^{2}E$，右侧的电荷量 ${q}_{d}={\int }_{0}^{c}4\pi {r}^{2}\rho dr={\int }_{0}^{r}4\pi {r}^{2}krdr=\pi {rr}^{4}$，因此 $r < R$ 区域的场强为 ${E}_{UND}={K}_{r}/(4{e}_{0})$。
- 对于 $r > R$ 区域，利用高斯定理 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=\dfrac {{q}_{A}}{{E}_{0}}$，其中左侧积分为 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=4\pi {r}^{2}E$，右侧的电荷量 ${q}_{H}={\int }_{0}^{k}4\pi {r}^{2}pdr={\int }_{0}^{k}4\pi {r}^{2}krdr=\pi k{R}^{4}$，因此 $r > R$ 区域的场强为 ${E}_{UND}={K}_{r}/(4{e}_{0})$。
步骤 3：求解球内外的电势分布
- 对于 $r < R$ 区域，以无穷远为电势零势点，有 $\varphi ={\int }_{r}^{\omega }\dfrac {k{r}^{4}}{4{e}^{2}}dr=\dfrac {k{r}^{4}}{4{\varepsilon }_{0}r}$。
- 对于 $r > R$ 区域，以无穷远为电势零势点，有 $\varphi =k{r}^{\omega }\cdot \cdot r={\int }_{r}^{\omega }\dfrac {k{R}^{4}}{4{e}^{2}}dr=\dfrac {k{R}^{4}}{4{\varepsilon }_{0}r}$。
由于电荷分布具有球心对称性，其电场分布亦具有球心对称性，即离球心等距离的点场强大小相等、方向沿径向。
步骤 2：求解球内外的场强分布
- 对于 $r < R$ 区域，利用高斯定理 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=\dfrac {{q}_{A}}{{E}_{0}}$，其中左侧积分为 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=4\pi {r}^{2}E$，右侧的电荷量 ${q}_{d}={\int }_{0}^{c}4\pi {r}^{2}\rho dr={\int }_{0}^{r}4\pi {r}^{2}krdr=\pi {rr}^{4}$，因此 $r < R$ 区域的场强为 ${E}_{UND}={K}_{r}/(4{e}_{0})$。
- 对于 $r > R$ 区域，利用高斯定理 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=\dfrac {{q}_{A}}{{E}_{0}}$，其中左侧积分为 ${\int }_{S}^{1}E\cdot dS=4\pi {r}^{2}E$，右侧的电荷量 ${q}_{H}={\int }_{0}^{k}4\pi {r}^{2}pdr={\int }_{0}^{k}4\pi {r}^{2}krdr=\pi k{R}^{4}$，因此 $r > R$ 区域的场强为 ${E}_{UND}={K}_{r}/(4{e}_{0})$。
步骤 3：求解球内外的电势分布
- 对于 $r < R$ 区域，以无穷远为电势零势点，有 $\varphi ={\int }_{r}^{\omega }\dfrac {k{r}^{4}}{4{e}^{2}}dr=\dfrac {k{r}^{4}}{4{\varepsilon }_{0}r}$。
- 对于 $r > R$ 区域，以无穷远为电势零势点，有 $\varphi =k{r}^{\omega }\cdot \cdot r={\int }_{r}^{\omega }\dfrac {k{R}^{4}}{4{e}^{2}}dr=\dfrac {k{R}^{4}}{4{\varepsilon }_{0}r}$。