设x符合均数为mu、标准差为sigma的正态分布，作z=(x-mu)/sigma的变量变换，则（） A z符合正态分布，且均数不变 B z符合正态分布，且标准差不变 C z符合正态分布，且均数和标准差都不变 D z符合正态分布，但均数和标准差都改变 E z符合正态分布，仅均数改变

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，即对原正态变量进行线性转换后，新变量的分布特征（均数、标准差）如何变化。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：对正态变量进行线性变换（如$z=ax+b$），结果仍服从正态分布。
2. 均数与标准差的变换规律：新均数为$a\mu + b$，新方差为$a^2\sigma^2$，新标准差为$|a|\sigma$。
3. 具体代入：本题中变换为$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$，需计算新均数和标准差，并判断选项。

破题关键点：

• 均数计算：原均数$\mu$代入变换式后变为$0$。
• 标准差计算：原标准差$\sigma$代入变换式后变为$1$。
• 分布性质：变换后的变量仍服从正态分布。

对变量$x \sim N(\mu, \sigma^2)$进行变换$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$，分析如下：

分布类型

正态分布在线性变换下保持正态性，因此$z$仍服从正态分布。

均数计算

新均数为：
$E(z) = E\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{E(x) - \mu}{\sigma} = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$

标准差计算

新方差为：
$\text{Var}(z) = \text{Var}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{\text{Var}(x)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$
因此，新标准差为$\sqrt{1} = 1$。

选项分析

• A：均数不变（错误，均数变为$0$）。
• B：标准差不变（错误，标准差变为$1$）。
• C：均数和标准差都不变（错误）。
• D：均数和标准差都改变（正确）。
• E：仅均数改变（错误，标准差也改变）。