三角形行列式 [ | a_(11) & a_(12) & ... & a_(1n) 0 & a_(22) & ... & a_(2n) ... & ... & ... & ... 0 & 0 & ... & a_(nn)

本题考查三角形行列式行列式的计算。解题思路。对于上三角行列式（主对角线下方元素全为零的行列式），我们可以根据行列式按行（列）展开法则来计算其值。

行列式按行展开法则为：$n$阶行列式\(D = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n}过长，如 A：平行。 2."填空题"输出填空部分需要填写的内容，两个或两个以上答案需要用"；"隔开，如"3；5"。 整体答案分为解析部分和答案部分，多题也只存在，所以本题可按第一行展开，根据行列式按行展开公式$D=\sum_{j = 1}^{n}a_{1j}A_{1j}$（其中$A_{1j}=(-1)^{1 + j}M_{1j}$，$M_{1j}$是$a_{1j}$的余子式）。
对于给定的上三角行列式$\left| \begin{array}{ccccccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n - 1} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2,n - 1} & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{array} \right|$，按第一行展开：
$D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}$
其中$A_{1j}=(-1)^{1 + j}M_{1j}$，$M_{1j}$是$a_{1j}$的余子式。
当$j>1$时，$a_{1j}$对应的余子式$M_{1j}$是一个$(n - 1)$阶上三角行列式，且$a_{11}$的余子式$M_{11}=\left| \begin{array}{cccc} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \right|$。
而当$j>1$时，$a_{1j}$的代数余子式$A_{1j}=(-1)^{1 + j}M_{1j}$，由于$a_{1j}$所在列中$a_{1j}$下方元素全为$0$，根据行列式按行展开法则，$a_{1j$乘以其代数余子式$A_{1j}$的和为$0$（因为$a_{1j$的代数余子式$A_{1j}$对应的行列式中至少有一列元素全为$0$，行列式的值为$0$）。
所以$D=a_{11}A_{11}$，又因为$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}$，$M_{11}$是一个$(n - 1)$阶上三角行列式，重复上述过程，可得$M_{11}=a_{22}M_{22}$，以此类推，最终可得$D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$。