15.（判断题，3.0分）驻点一定是极值点。A. 对B. 错

本题考查驻点和极值点的概念以及它们之间的关系。解题思路是先明确驻点和极值点的定义，再通过举例说明驻点不一定是极值点。

1. 明确驻点和极值点的定义

• 驻点：函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=0$，则称$x_0$为函数$f(x)$的驻点。
• 极值点：设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任一$x$，有$f(x)\lt f(x_0)$（或$f(x)\gt f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值），点$x_0$称为函数$f(x)$的极大值点（或极小值点）。

2. 通过举例说明驻点不一定是极值点

考虑函数$f(x)=x^3$，对其求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
$f^\prime(x)=(x^3)^\prime = 3x^2$
令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2 = 0$，解方程可得$x = 0$，所以$x = 0$是函数$f(x)=x^3$的驻点。
当$x\lt0$时，$f^\prime(x)=3x^2\gt0$，函数$f(x)$单调递增；当$x\gt0$时，$f^\prime(x)=3x^2\gt0$，函数$f(x)$也单调递增。
这说明在$x = 0$的两侧函数单调性相同，所以$x = 0$不是函数$f(x)=x^3$的极值点。
由此可见，驻点不一定是极值点。