7.求过点 (3,1,-2) 且通过直线 dfrac (x-4)(5)=dfrac (y+3)(2)=dfrac (z)(1) 的平面方程.

步骤 1：确定已知点和直线上的点
已知点 $P(3,1,-2)$ 和直线上点 $Q(4,-3,0)$ 均在平面上。
步骤 2：确定直线的方向向量
直线的方向向量 $s=\{5,2,1\}$。
步骤 3：计算平面的法向量
取平面的法向量为 $n=s\times PQ$，其中 $PQ$ 是向量 $Q-P$。
步骤 4：计算向量 $PQ$
$PQ = Q - P = (4-3, -3-1, 0+2) = (1, -4, 2)$。
步骤 5：计算法向量 $n$
$n = s \times PQ = \left|\begin{matrix} i & j & k \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{matrix}\right| = (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-4))i - (5 \cdot 2 - 1 \cdot 1)j + (5 \cdot (-4) - 2 \cdot 1)k = (4 + 4)i - (10 - 1)j + (-20 - 2)k = 8i - 9j - 22k$。
步骤 6：写出平面方程
平面方程为 $8(x-3) - 9(y-1) - 22(z+2) = 0$。
步骤 7：化简平面方程
$8x - 24 - 9y + 9 - 22z - 44 = 0$，即 $8x - 9y - 22z - 59 = 0$。