9.幂级数sum_(n=0)^infty(2+i)^nz^n的收敛半径为（）A. sqrt(5)B. 5C. (1)/(sqrt(5))D. (1)/(5)

本题考查幂级数收敛半径的计算，解题思路是利用幂级数收敛半径的公式来求解。对于幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}z^{n}$，其收敛半径$R$的计算公式为$R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}}$（根值判别法），也可使用$R = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\vert$（比值判别法），这里我们使用根值判别法。

已知幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}(2 + i)^{n}z^{n}$，则$a_{n}=(2 + i)^{n}$。

1. 首先求$\vert a_{n}\vert$：
   根据复数的模的性质，对于复数$z = x+iy$，其模$\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
   对于$a_{n}=(2 + i)^{n}$，$\vert a_{n}\vert=\vert(2 + i)^{n}\vert$，由$\vert z^{n}\vert=\vert z\vert^{n}$可得$\vert(2 + i)^{n}\vert=\vert2 + i\vert^{n}$。
   计算$\vert2 + i\vert$，其中$x = 2$，$y = 1$，则$\vert2 + i\vert=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
   所以$\vert a_{n}\vert=(\sqrt{5})^{n}$。
2. 然后求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}$：
   将$\vert a_{n}\vert=(\sqrt{5})^{n}$代入$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}$，可得$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}[(\sqrt{5})^{n}]^{\frac{1}{n}}$。
   根据幂的运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则$[(\sqrt{5})^{n}]^{\frac{1}{n}}=(\sqrt{5})^{n\times\frac{1}{n}}=\sqrt{5}$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}=\sqrt{5}$。
3. 最后求收敛半径$R$：
   根据收敛半径公式$R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}}$，将$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\vert a_{n}\vert^{\frac{1}{n}}=\sqrt{5}$代入可得$R = \frac{1}{\sqrt{5}}$。