4.(单选题，20分) 微分方程y^m=e^-x的通解为y=（）A. e^-x+C_(1)x^2+C_(2)x+C_(3)B. -e^-x+C_(1)x^2+C_(2)x+C_(3)C. e^-x+C_(1)x^2+C_(2)D. e^-x+C_(1)x^3+C_(2)x^2+C_(3)x

本题考查的是高阶常系数非齐次线性微分方程的求解，对于形如$y^{(n)} = f(x)$的微分方程，可通过连续积分$n$次来得到通解。本题中$n = 3$，$f(x)=e^{-x}$，我们需要对$y''' = e^{-x}$进行三次积分。

1. 第一次积分求$y''$：
   已知$y''' = e^{-x}$，对其两边同时积分可得$y''$。
   根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$），对$y''' = e^{-x}$积分：
   $y''=\int e^{-x}dx$
   令$a = -1$，则$y''=-\ e^{-x}+C_{1}$，其中$C_{1}$为积分常数。
2. 第二次积分求$y'$：
   对$y''=-\ e^{-x}+C_{1}$两边同时积分可得$y'$。
   根据积分的加法法则$\int (u(x)+v(x))dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$，则$y'=\int (-\ e^{-x}+C_{1})dx=\int (-e^{-x})dx+\int C_{1}dx$。
   • 对于$\int (-e^{-x})dx$，令$a = -1$，根据$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$可得$\int (-e^{-x})dx = e^{-x}+C_{21}$。
   • 对于$\int C_{1}dx$，根据$\int kdx=kx + C$（$k$为常数）可得$\int C_{1}dx = C_{1}x+C_{22}$。
     所以$y'=e^{-x}+C_{1}x+C_{2}$，其中$C_{2}=C_{21}+C_{22}$为积分常数。
3. 第三次积分求$y$：
   对$y'=e^{-x}+C_{1}x+C_{2}$两边同时积分可得$y$。
   同样根据积分的加法法则$y=\int (e^{-x}+C_{1}x+C_{2})dx=\int e^{-x}dx+\int C_{1}xdx+\int C_{2}dx$。
   • 对于$\int e^{-x}dx$，令$a = -1$，根据$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$可得$\int e^{-x}dx = -e^{-x}+C_{31}$。
   • 对于$\int C_{1}xdx$，根据$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得$\int C_{1}xdx=\frac{1}{2}C_{1}x^{2}+C_{32}$。
   • 对于$\int C_{2}dx$，根据$\int kdx=kx + C$（$k$为常数）可得$\int C_{2}dx = C_{2}x+C_{33}$。
     所以$y=-e^{-x}+\frac{1}{2}C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}$，令$\frac{1}{2}C_{1}=C_{1}'$，则$y=-e^{-x}+C_{1}'x^{2}+C_{2}x+C_{3}$，通常仍记为$y=-e^{-x}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}$。