题目
22. (12.0分) A=(}0&3&31&1&01&2&3为A的伴随矩阵,求X.
22. (12.0分) $A=\left(\begin{matrix}0&3&3\\1&1&0\\1&2&3\end{matrix}\right)$,3阶方阵X满足 $AXA^{*}=3AX-9A$,其中$A^{*}$为A的伴随矩阵,求X.
题目解答
答案
设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$，则 $|A| = -6$。由 $AXA^* = 3AX - 9A$，利用 $A^* = \frac{1}{|A|}A^{-1}|A|^2$，得
\[
X = 3A(A + 2I)^{-1}.
\]
计算 $A + 2I = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$，其行列式为 $12$，逆矩阵为
\[
(A + 2I)^{-1} = \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 15 & -9 & -9 \\ -5 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]
因此，
\[
X = \frac{3}{12} A \begin{pmatrix} 15 & -9 & -9 \\ -5 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -\frac{9}{2} & \frac{9}{2} & \frac{9}{2} \\ \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}}.
\]
解析
本题主要考查伴随矩阵的性质、矩阵方程的求解以及逆矩阵的计算。解题的关键思路是利用伴随矩阵与逆矩阵的关系对给定的矩阵方程进行化简，然后通过计算逆矩阵和矩阵乘法求出矩阵$X$。
- 计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$：
已知$A=\begin{pmatrix}0&3&3\\1&1&0\\1&2&3\end{pmatrix}$，根据三阶行列式的计算公式$\vert A\vert=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$（其中$a_{ij}$为矩阵$A$的元素，$A_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式）可得：
$\vert A\vert=0\times\begin{vmatrix}1&0\\2&3\end{vmatrix}-3\times\begin{vmatrix}1&0\\1&3\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}$
$=0 - 3\times(1\times3 - 0\times1)+3\times(1\times2 - 1\times1)$
$=0 - 9 + 3$
$=-6$ - 利用伴随矩阵与逆矩阵的关系化简矩阵方程：
已知$A^{*}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{-1}\vert A\vert^{2}$，原方程$AXA^{*}=3AX - 9A$两边同时左乘$A^{-1}$可得：
$XA^{*}=3X - 9E$（$E$为三阶单位矩阵）
再将$A^{*}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{-1}\vert A\vert^{2}$代入上式得：
$X\cdot\frac{1}{\vert A\vert}A^{-1}\vert A\vert^{2}=3X - 9E$
即$\vert A\vert XA^{-1}=3X - 9E$
把$\vert A\vert = - 6$代入得：
$-6XA^{-1}=3X - 9E$
两边同时右乘$A$得：
$-6X = 3XA - 9A$
移项可得：
$3XA + 6X = 9A$
提取公因式$X$得：
$3X(A + 2E)=9A$
两边同时除以$3$得：
$X(A + 2E)=3A$
两边再同时右乘$(A + 2E)^{-1}$得：
$X = 3A(A + 2E)^{-1}$ - 计算$A + 2E$：
$A + 2E=\begin{pmatrix}0&3&3\\1&1&0\\1&2&3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3&3\\1&3&0\\1&2&5\end{pmatrix}$ - 计算$(A + 2E)$的行列式$\vert A + 2E\vert$：
$\vert A + 2E\vert=2\times\begin{vmatrix}3&0\\2&5\end{vmatrix}-3\times\begin{vmatrix}1&0\\1&5\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}$
$=2\times(3\times5 - 0\times2)-3\times(1\times5 - 0\times1)+3\times(1\times2 - 1\times3)$
$=2\times15 - 3\times5 + 3\times(-1)$
$=30 - 15 - 3$
$=12$ - 计算$(A + 2E)^{-1}$：
求逆矩阵可以使用伴随矩阵法，$(A + 2E)^{-1}=\frac{1}{\vert A + 2E\vert}\text{adj}(A + 2E)$，其中$\text{adj}(A + 2E)$为$(A + 2E)$的伴随矩阵。
先求$(A + 2E)$的代数余子式：
$A_{11}=(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}3&0\\2&5\end{vmatrix}=15$
$A_{12}=(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}1&0\\1&5\end{vmatrix}=-5$
$A_{13}=(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=-1$
$A_{21}=(-1)^{2 + 1}\begin{vmatrix}3&3\\2&5\end{vmatrix}=-9$
$A_{22}=(-1)^{2 + 2}\begin{vmatrix}2&3\\1&5\end{vmatrix}=7$
$A_{23}=(-1)^{2 + 3}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}=-1$
$A_{31}=(-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix}3&3\\3&0\end{vmatrix}=-9$
$A_{32}=(-1)^{3 + 2}\begin{vmatrix}2&3\\1&0\end{vmatrix}=3$
$A_{33}=(-1)^{3 + 3}\begin{vmatrix}2&3\\1&3\end{vmatrix}=3$
则$\text{adj}(A + 2E)=\begin{pmatrix}15&-9&-9\\-5&7&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$
所以$(A + 2E)^{-1}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}15&-9&-9\\-5&7&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$ - 计算矩阵$X$：
$X = 3A(A + 2E)^{-1}=\frac{3}{12}\begin{pmatrix}0&3&3\\1&1&0\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}15&-9&-9\\-5&7&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}0\times15 + 3\times(-5)+3\times(-1)&0\times(-9)+3\times7 + 3\times(-1)&0\times(-9)+3\times(-1)+3\times3\\1\times15 + 1\times(-5)+0\times(-1)&1\times(-9)+1\times7 + 0\times(-1)&1\times(-9)+1\times(-1)+0\times3\\1\times15 + 2\times(-5)+3\times(-1)&1\times(-9)+2\times7 + 3\times(-1)&1\times(-9)+2\times(-1)+3\times3\end{pmatrix}$
$=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-18&18&18\\10&-2&-10\\2&2&6\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$