2、设y=C_(1)e^-2x+C_(2)e^3x (C_(1),C_(2)为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为（）。A. y''-2y'+3y=0B. y''-y'-6y=0C. y''-y'+6y=0D. y''-y'-6=0

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程通解与特征方程的关系。解题思路是先根据给定的通解确定特征方程的根，再由特征根写出特征方程，最后根据特征方程得到对应的二阶常系数齐次线性微分方程。

步骤一：确定特征方程的根

已知二阶常系数齐次线性微分方程的通解为$y = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{3x}$（$C_{1},C_{2}$为任意常数）。
对于二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + py' + qy = 0$（$p,q$为常数），其通解的形式与特征方程$r^{2}+pr + q = 0$的根有关。
当特征方程有两个不相等的实根$r_1$和$r_2$时，通解为$y = C_{1}e^{r_1x} + C_{2}e^{r_2x}$。
对比已知通解$y = C_{1}e^{-2x} + C_{2}e^{3x}$，可得特征方程的两个根为$r_1 = -2$，$r_2 = 3$。

步骤二：根据特征根写出特征方程

若一元二次方程的两个根为$r_1$和$r_2$，则该一元二次方程可表示为$(r - r_1)(r - r_2) = 0$。
将$r_1 = -2$，$r_2 = 3$代入上式，可得$(r - (-2))(r - 3) = 0$，即$(r + 2)(r - 3) = 0$。
根据多项式乘法法则展开$(r + 2)(r - 3)$：
$\begin{align*}(r + 2)(r - 3)&=r\times r - 3\times r + 2\times r - 2\times 3\\&=r^{2}-3r + 2r - 6\\&=r^{2}-r - 6\end{align*}$
所以特征方程为$r^{2}-r - 6 = 0$。

步骤三：根据特征方程得到对应的二阶常系数齐次线性微分方程

对于二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + py' + qy = 0$，其特征方程为$r^{2}+pr + q = 0$。
对比特征方程$r^{2}-r - 6 = 0$，可得$p = -1$，$q = -6$。
所以对应的二阶常系数齐次线性微分方程为$y'' - y' - 6y = 0$。