设方程 xy - e^x + e^y = 0 确定了隐函数 y = y(x)，求 y'(0) = ( )A. 2B. 0C. -1D. 1

本题考查隐函数求导的知识点。解题思路是先对给定的方程两边关于$x$求导，然后解出$y'$的表达式，再将$x = 0$代入原方程求出对应的$y$值，最后把$x = 0$和求出的$y$值代入$y'$的表达式中，从而得到$y'(0)$的值。

步骤一：对给定方程两边关于$x$求导

已知方程$xy - e^x + e^y = 0$，根据求导的四则运算法则和复合函数求导法则进行求导。

• 对于$xy$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v = y$，所以$(xy)^\prime = y + xy'$。
• 对于$-e^x$，其导数为$-e^x$。
• 对于$e^y$，因为$y$是关于$x$的函数，所以根据复合函数求导法则，$(e^y)^\prime = e^y \cdot y'$。

方程两边求导后得到：$y + xy' - e^x + e^y \cdot y' = 0$。

步骤二：解出$y'$的表达式

将含有$y'$的项移到等式一边，其他项移到等式另一边：
$xy' + e^y \cdot y' = e^x - y$
提取公因式$y'$可得：$y'(x + e^y) = e^x - y$
两边同时除以$(x + e^y)$，得到$y' = \frac{e^x - y}{x + e^y}$。

步骤三：求出$x = 0$时$y$的值

将$x = 0$代入原方程$xy - e^x + e^y = 0$，得到：
$0\times y - e^0 + e^y = 0$
即$-1 + e^y = 0$，移项可得$e^y = 1$，解得$y = 0$。

步骤四：计算$y'(0)$的值

将$x = 0$，$y = 0$代入$y' = \frac{e^x - y}{x + e^y}$中，得到：
$y'(0) = \frac{e^0 - 0}{0 + e^0} = \frac{1 - 0}{0 + 1} = 1$