设 A 为 m×n 矩阵，则 r(A)=r 的充要条件是()A. A 中所有的 r+1 阶子式全为 0B. A 中所有的 r 阶子式不等于 0C. A 中非零子式的最高阶数为 rD. A 中非零子式的最高阶数小于 r+1

本题考查矩阵秩的定义及相关性质，解题的关键在于理解矩阵秩的定义，并据此分析每个选项与矩阵秩为$r$之间的关系。

矩阵秩的定义

矩阵$A$的秩$r(A)$定义为矩阵$A$中非零子式的最高阶数。

对各选项的分析

• 选项A：
  若$A$中所有的$r + 1$阶子式全为$0$，只能说明矩阵$A$的秩$r(A)\leq r$，但不能确定$r(A)$就等于$r$。例如，当$A$是零矩阵时，所有阶数的子式都为$0$，此时对于任意的$r$，所有$r + 1$阶子式全为$0$，但矩阵的秩为$0$，不一定等于$r$。所以该选项错误。
• 选项B：
  若$A$中所有的$r$阶子式不等于$0$，只能说明矩阵$A$的秩$r(A)\geq r$，但不能确定$r(A)$就等于$r$。因为可能存在更高阶的非零子式，使得矩阵的秩大于$r$。所以该选项错误。
• 选项C：
  根据矩阵秩的定义，矩阵$A$的秩$r(A)$就是矩阵$A$中非零子式的最高阶数。若$A$中非零子式的最高阶数为$r$，那么$r(A)=r$；反之，若$r(A)=r$，则$A$中非零子式的最高阶数必然为$r$。所以该选项正确。
• 选项D：
  若$A$中非零子式的最高阶数小于$r + 1$，即$A$中非零子式的最高阶数可能为$0,1,\cdots,r$，这只能说明$r(A)\leq r$，不能确定$r(A)$就等于$r$。所以该选项错误。