设 u = xy + (y)/(x)，则 u_(xx) = ( )A. (2y)/(x^3)B. y - (y)/(x^2)C. (y)/(x^2) - yD. -(2y)/(x^3)

本题考查二元函数的二阶偏导数的计算。解题思路是先对函数$u$关于$x$求一阶偏导数$u_x$，再对$u_x$关于$x$求偏导数，从而得到二阶偏导数$u_{xx}$。

步骤一：求$u$关于$x$的一阶偏导数$u_x$

已知$u = xy + \frac{y}{x}=xy + yx^{-1}$，在求$u$关于$x$的偏导数时，将$y$看作常数。
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及$(C\cdot X)^\prime = C$（$C$为常数），对$u$求偏导数：
$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(xy)}{\partial x}+\frac{\partial(yx^{-1})}{\partial x}$
因为$\frac{\partial(xy)}{\partial x}=y$，$\frac{\partial(yx^{-1})}{\partial x}=y\times(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^2}$，所以$u_x=y - \frac{y}{x^2}$。

步骤二：求$u_x$关于$x$的二阶偏导数$u_{xx}$

对$u_x=y - \frac{y}{x^2}=y - yx^{-2}$关于$x$求偏导数，同样将$y$看作常数。
$u_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}=\frac{\partial(y)}{\partial x}-\frac{\partial(yx^{-2})}{\partial x}$
因为$\frac{\partial(y)}{\partial x}=0$，$\frac{\partial(yx^{-2})}{\partial x}=y\times(-2)x^{-3}=-\frac{2y}{x^3}$，所以$u_{xx}=0 - (-\frac{2y}{x^3})=\frac{2y}{x^3}$。