13. (单选题，8.0分) 设随机变量X~b(3,p)，Y~π(3p)，若P(X≥1)=19/27，则P(Y≥1)= ( )A. e-1B. 0.5C. 0.3D. 1-e-1

本题考查二项分布和泊松分布的概率计算。解题思路是先根据二项分布的概率公式，结合已知条件$P(X\geq1)=\frac{19}{27}$求出$p$的值，再将$p$的值代入泊松分布中，最后根据泊松分布的性质求出$P(Y\geq1)$。

步骤一：根据二项分布的性质求出$p$的值

已知随机变量$X\sim b(3,p)$，二项分布的概率公式为$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中$n$是试验次数，$k$是成功次数，$p$是每次试验成功的概率。
因为$P(X\geq1)=\frac{19}{27}$，而$P(X\geq1)=1 - P(X = 0)$，所以先求$P(X = 0)$：
$P(X = 0)=C_{3}^{0}p^{0}(1 - p)^{3-0}=(1 - p)^{3}$
则$1 - P(X = 0)=1 - (1 - p)^{3}=\frac{19}{27}$
移项可得$(1 - p)^{3}=1 - \frac{19}{27}=\frac{8}{27}$
两边同时开立方可得$1 - p = \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$
解得$p = 1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

步骤二：求出$3p$的值

将$p = \frac{1}{3}$代入$3p$，可得$3p = 3\times\frac{1}{3}=1$，即$Y\sim\pi(1)$。

步骤三：根据泊松分布的性质求出$P(Y\geq1)$

已知随机变量$Y\sim\pi(\lambda)$（$\lambda$为参数），泊松分布的概率公式为$P(Y=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$。
因为$P(Y\geq1)=1 - P(Y = 0)$，所以先求$P(Y = 0)$：
$P(Y = 0)=\frac{1^{0}e^{-1}}{0!}=e^{-1}$
则$P(Y\geq1)=1 - P(Y = 0)=1 - e^{-1}$