题目
设 x_0 > 0，a > 0，递推式为 x_n = (1)/(2)(x_(n-1) + (a^2)/(x_(n-1)))。 证明 lim _(n arrow infty )x_(n) 存在,并求极限值. 又 (x_(n))/(x_(n-1))= (1)/(2)(1+ (a^2)/(x_(n-1)^2)) le 1 知,数列 x_{n) } ().A. 单调增加B. 单调减少C. 单调性不定
设 $x_0 > 0$，$a > 0$，递推式为 $x_n = \frac{1}{2}(x_{n-1} + \frac{a^2}{x_{n-1}})$。 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty }x_{n} 存在,并求极限值. 又 $\frac {x_{n}}{x_{n-1}}= \frac {1}{2}(1+ \frac {a^{2}}{x_{n-1}^{2}}) \le 1$ 知,数列 \{ x_{n} \} ().
A. 单调增加
B. 单调减少
C. 单调性不定
题目解答
答案
B. 单调减少
解析
本题主要考查数列极限的存在性证明、极限值的求解以及数列单调性的判断，涉及到均值不等式、数列极限的运算法则等知识点。解题思路如下：
- 证明数列有下界：
- 已知$x_0\gt0$，$a\gt0$，对于递推式$x_n = \frac{1}{2}(x_{n - 1} + \frac{a^2}{x_{n - 1}})$，根据均值不等式，对于任意两个正实数$m$、$n$，有$\frac{m + n}{2} \geq \sqrt{mn}$。
- 在这里$m = x_{n - 1}$，$n = \frac{a^2}{x_{n - 1}}$，则$x_n = \frac{1}{2}(x_{n - 1} + \frac{a^2}{x_{n - 1}}) \geq \frac{1}{2} \times 2\sqrt{x_{n - 1} \times \frac{a^2}{x_{n - 1}}}$。
- 化简可得$x_n \geq \frac{1}{2} \times 2\sqrt{a^2}=a$，所以数列$\{x_n\}$有下界$a$。
- 证明数列单调减少：
- 已知$\frac{x_n}{x_{n - 1}} = \frac{1}{2}(1 + \frac{a^2}{x_{n - 1}^2})$，因为$x_{n - 1} \geq a$，所以$\frac{a^2}{x_{n - 1}^2} \leq 1$。
- 则$\frac{x_n}{x_{n - 1}} = \frac{1}{2}(1 + \frac{a^2}{x_{n - 1}^2}) \leq \frac{1}{2}(1 + 1)=1$，又因为$x_n\gt0$，$x_{n - 1}\gt0$，所以$x_n \leq x_{n - 1}$，即数列$\{x_n\}$单调减少。
- 证明数列极限存在并求极限值：
- 由于数列$\{x_n\}$单调减少且有下界，根据单调有界准则，数列$\{x_n\}$的极限存在，设$\lim_{n \to \infty} x_n = L$。
- 对递推式$x_n = \frac{1}{2}(x_{n - 1} + \frac{a^2}{x_{n - 1}})$两边同时取$n \to \infty$的极限，可得$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{2}(\lim_{n \to \infty} x_{n - 1} + \frac{a^2}{\lim_{n \to \infty} x_{n - 1}})$。
- 因为$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} x_{n - 1} = L$，所以$L = \frac{1}{2}(L + \frac{a^2}{L})$。
- 等式两边同时乘以$2L$得到$2L^2 = L^2 + a^2$，移项可得$L^2 = a^2$。
- 又因为$x_n \geq a\gt0$，所以$L \geq a\gt0$，则$L = a$，即$\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
- 判断数列单调性：
- 由前面已证得$x_n \leq x_{n - 1}$，所以数列$\{x_n\}$单调减少。