9. (5.0分) 下列积分结果为0的是( )。A. oint_(|z|=1) (1)/(z-2)dzB. oint_(|z|=2) (z^2)/(z+3)dzC. oint_(|z|=2) (1)/(z^2)-zdzD. oint_(|z|=1) (1)/(z)dz

本题考查复变函数中柯西 - 古萨基本定理和柯西积分公式的应用。柯西 - 古萨基本定理指出：如果函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内的任意一条简单闭曲线，那么 $\oint_{C} f(z)dz = 0$。柯西积分公式为：若 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $\overline{D}=D + C$ 上连续，$z_0$ 是 $C$ 内一点，则 $\oint_{C} \frac{f(z)}{z - z_0}dz = 2\pi if(z_0)$。

选项A

对于积分 $\oint_{|z|=1} \frac{1}{z - 2}dz$，被积函数 $f(z)=\frac{1}{z - 2}$ 的奇点为 $z = 2$。
曲线 $|z| = 1$ 是以原点为圆心，半径为 $1$ 的圆周。
判断奇点 $z = 2$ 与曲线 $|z| = 1$ 的位置关系，计算 $|2|=2\gt{}1$，说明奇点 $z = 2$ 在曲线 $|z| = 1$ 的外部。
那么函数 $f(z)=\frac{1}{z - 2}$ 在曲线 $|z| = 1$ 所围成的区域内解析，根据柯西 - 古萨基本定理，可得 $\oint_{|z|=1} \frac{1}{z - 2}dz = 0$。

选项B

对于积分 $\oint_{|z|=2} \frac{z^{2}}{z + 3}dz$，被积函数 $f(z)=\frac{z^{2}}{z + 3}$ 的奇点为 $z=-3$。
曲线 $|z| = 2$ 是以原点为圆心，半径为 $2$ 的圆周。
判断奇点 $z = - 3$ 与曲线 $|z| = 2$ 的位置关系，计算 $|-3| = 3\gt{}2$，说明奇点 $z=-3$ 在曲线 $|z| = 2$ 的外部。
那么函数 $f(z)=\frac{z^{2}}{z + 3}$ 在曲线 $|z| = 2$ 所围成的区域内解析，根据柯西 - 古萨基本定理，可得 $\oint_{|z|=2} \frac{z^{2}}{z + 3}dz = 0$。

选项C

对于积分 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z^{2}-z}dz$，先对被积函数进行因式分解：$z^{2}-z=z(z - 1)$，则被积函数的奇点为 $z = 0$ 和 $z = 1$。
曲线 $|z| = 2$ 是以原点为圆心，半径为 $2$ 的圆周。
判断奇点 $z = 0$ 和 $z = 1$ 与曲线 $|z| = 2$ 的位置关系，计算 $|0|=0\lt{}2$，$|1| = 1\lt{}2$，说明奇点 $z = 0$ 和 $z = 1$ 都在曲线 $|z| = 2$ 的内部。
将被积函数 $\frac{1}{z^{2}-z}$ 分解为部分分式：$\frac{1}{z^{2}-z}=\frac{1}{z(z - 1)}=\frac{1}{z - 1}-\frac{1}{z}$。
则 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z^{2}-z}dz=\oint_{|z|=2} (\frac{1}{z - 1}-\frac{1}{z})dz=\oint_{|z|=2} \frac{1}{z - 1}dz-\oint_{|z|=2} \frac{1}{z}dz$。
根据柯西积分公式，对于 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z - 1}dz$，这里 $f(z)=1$，$z_0 = 1$，则 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z - 1}dz=2\pi i\times1 = 2\pi i$；对于 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z}dz$，这里 $f(z)=1$，$z_0 = 0$，则 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z}dz=2\pi i\times1 = 2\pi i$。
所以 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z^{2}-z}dz=2\pi i-2\pi i = 0$。

选项D

对于积分 $\oint_{|z|=1} \frac{1}{z}dz$，被积函数 $f(z)=\frac{1}{z}$ 的奇点为 $z = 0$。
曲线 $|z| = 1$ 是以原点为圆心，半径为 $1$ 的圆周。
判断奇点 $z = 0$ 与曲线 $|z| = 1$ 的位置关系，计算 $|0|=0\lt{}1$，说明奇点 $z = 0$ 在曲线 $|z| = 1$ 的内部。
根据柯西积分公式，这里 $f(z)=1$，$z_0 = 0$，则 $\oint_{|z|=1} \frac{1}{z}dz=2\pi i\times1 = 2\pi i\neq0$。