题目
6. (1.0分) 随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=}Ae^-(3x+4y),&x>0,y>0,0,&其他.,则A=（）A. 10B. 12
6. (1.0分) 随机变量(X,Y)的概率密度为
$f(x,y)=\begin{cases}Ae^{-(3x+4y)},&x>0,y>0,\\0,&其他.\end{cases}$,则A=（）
A. 10
B. 12
题目解答
答案
B. 12
解析
本题考查二维随机变量概率密度函数的性质。解题思路是利用二维随机变量概率密度函数在整个平面上的二重积分等于$1$这一性质来求解常数$A$。具体步骤如下：
- 首先明确概率密度函数的性质：对于二维随机变量$(X,Y)$，其概率密度函数$f(x,y)$满足$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = 1$。
- 已知$f(x,y)=\begin{cases}Ae^{-(3x + 4y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}Ae^{-(3x + 4y)}dxdy$。
- 利用指数函数的性质$e^{a + b}=e^a\cdot e^b$，将被积函数$Ae^{-(3x + 4y)}$变形为$Ae^{-3x}\cdot e^{-4y}$，则$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}Ae^{-(3x + 4y)}dxdy=A\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy$。
- 分别计算两个定积分：
- 计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx$，根据定积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C(a\neq0)$，可得$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}e^{-3x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{b}=\lim\limits_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{3}e^{-3b}+\frac{1}{3}e^{0}\right)$。
因为$\lim\limits_{b\to+\infty}e^{-3b}=0$，所以$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx=\frac{1}{3}$。 - 同理，计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy$，可得$\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy=\lim\limits_{c\to+\infty}\int_{0}^{c}e^{-4y}dy=\lim\limits_{c\to+\infty}\left[-\frac{1}{4}e^{-4y}\right]_{0}^{c}=\lim\limits_{c\to+\infty}\left(-\frac{1}{4}e^{-4c}+\frac{1}{4}e^{0}\right)$。
因为$\lim\limits_{c\to+\infty}e^{-4c}=0$，所以$\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy=\frac{1}{4}$。
- 计算$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx$，根据定积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C(a\neq0)$，可得$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{0}^{b}e^{-3x}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{b}=\lim\limits_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{3}e^{-3b}+\frac{1}{3}e^{0}\right)$。
- 将上述两个积分结果代入$A\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy = 1$中，得到$A\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=1$。
- 求解$A$，由$A\times\frac{1}{12}=1$，可得$A = 12$。