下列函数在整个复平面上不满足柯西-黎曼方程的是( )。A. f(z) = overline(z)B. f(z) = z operatorname(Re) zC. f(z) = x^2 - iyD. f(z) = e^x (cos y + i sin y)

本题考查复变函数中柯西 - 黎曼方程的应用。柯西 - 黎曼方程是判断复变函数可导的必要条件，对于复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，柯西 - 黎曼方程为$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$且$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。我们需要分别对每个选项中的函数求出$u(x,y)$和$v(x,y)$，然后计算它们的偏导数，判断是否满足柯西 - 黎曼方程。

选项A

已知$f(z)=\overline{z}=x - iy$，则$u(x,y)=x$，$v(x,y)= -y$。

• 计算$u(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$u(x,y)=x$，$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$。
• 计算$u(x,y)$关于$y$的偏导数：
  因为$u(x,y)$中不含$y$，所以$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x)}{\partial y}=0$。
• 计算$v(x,y)$关于$x$的偏导数：
  因为$v(x,y)$中不含$x$，所以$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (-y)}{\partial x}=0$。
• 计算$v(x,y)$关于$y$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$v(x,y)= -y$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1$。
  此时$\frac{\partial u}{\partial x}=1\neq -1=\frac{\partial v}{\partial y}$，不满足柯西 - 黎曼方程。

选项B

已知$f(z)=z\operatorname{Re}z=(x + iy)x=x^2+ixy$，则$u(x,y)=x^2$，$v(x,y)=xy$。

• 计算$u(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$u(x,y)=x^2$，$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x^2)}{\partial x}=2x$。
• 计算$u(x,y)$关于$y$的偏导数：
  因为$u(x,y)$中不含$y$，所以$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x^2)}{\partial y}=0$。
• 计算$v(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$v(x,y)=xy$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (xy)}{\partial x}=y$。
• 计算$v(x,y)$关于$y$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$v(x,y)=xy$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}=x$。
  当$x = 0$且$y = 0$时，$\frac{\partial u}{\partial x}=2\times0 = 0=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0=-0=-\frac{\partial v}{\partial x}$，在$z = 0$处满足柯西 - 黎曼方程。

选项C

已知$f(z)=x^2 - iy$，则$u(x,y)=x^2$，$v(x,y)= -y$。

• 计算$u(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$u(x,y)=x^2$，$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (x^2)}{\partial x}=2x$。
• 计算$u(x,y)$关于$y$的偏导数：
  因为$u(x,y)$中不含$y$，所以$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (x^2)}{\partial y}=0$。
• 计算$v(x,y)$关于$x$的偏导数：
  因为$v(x,y)$中不含$x$，所以$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (-y)}{\partial x}=0$。
• 计算$v(x,y)$关于$y$的偏导数：
  根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对于$v(x,y)= -y$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1$。
  当$x = 0$时，$\frac{\partial u}{\partial x}=2\times0 = 0=-(-1)=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=0=-0=-\frac{\partial v}{\partial x}$，在$y$轴上满足柯西 - 黎曼方程。

选项D

已知$f(z)=e^x(\cos y + i\sin y)=e^x\cos y+ie^x\sin y$，则$u(x,y)=e^x\cos y$，$v(x,y)=e^x\sin y$。

• 计算$u(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据复合函数求导公式$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，对于$u(x,y)=e^x\cos y$，$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (e^x\cos y)}{\partial x}=e^x\cos y$。
• 计算$u(x,y)$关于$y$的偏导数：
  根据复合函数求导公式$(\cos u)^\prime=-\sin u\cdot u^\prime$，对于$u(x,y)=e^x\cos y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial (e^x\cos y)}{\partial y}=-e^x\sin y$。
• 计算$v(x,y)$关于$x$的偏导数：
  根据复合函数求导公式$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，对于$v(x,y)=e^x\sin y$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial (e^x\sin y)}{\partial x}=e^x\sin y$。
• 计算$v(x,y)$关于$y$的偏导数：
  根据复合函数求导公式$(\sin u)^\prime=\cos u\cdot u^\prime$，对于$v(x,y)=e^x\sin y$，$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (e^x\sin y)}{\partial y}=e^x\cos y$。
  此时$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$，在整个复平面上满足柯西 - 黎曼方程。