2. (5.0分) 设y=(arctan(x)/(2))^2，则dy=(4)/(4+x^2)arctan(x)/(2)dxA. 对B. 错

本题考查复合函数求微分的知识。解题思路是先对函数$y = (\arctan\frac{x}{2})^2$求导，再根据微分公式$dy = y^\prime dx$求出$dy$，最后与题目所给的$dy$进行比较。

步骤一：设中间变量

设$u = \arctan\frac{x}{2}$，则原函数$y = u^2$。

步骤二：分别对$y$关于$u$求导，$u$关于$x$求导

• 对$y = u^2$关于$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime = nX^{n - 1}$可得：$y^\prime_{u} = 2u$。
• 对$u = \arctan\frac{x}{2}$关于$x$求导，令$t=\frac{x}{2}$，则$u = \arctan t$。
  • 先对$u = \arctan t$关于$t$求导，根据求导公式$(\arctan X)^\prime = \frac{1}{1 + X^2}$可得：$u^\prime_{t} = \frac{1}{1 + t^2}$。
  • 再对$t=\frac{x}{2}$关于$x$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime = nX^{n - 1}$可得：$t^\prime_{x} = \frac{1}{2}$。
  • 根据复合函数求导法则$u^\prime_{x}=u^\prime_{t}\cdot t^\prime_{x}$，可得：
    $u^\prime_{x} = \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{4 + x^2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{4 + x^2}$。

步骤三：根据复合函数求导法则求$y$关于$x$的导数$y^\prime$

根据复合函数求导法则$y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$，将$y^\prime_{u} = 2u$和$u^\prime_{x} = \frac{2}{4 + x^2}$代入可得：
$y^\prime = 2u \cdot \frac{2}{4 + x^2}$
把$u = \arctan\frac{x}{2}$代回上式得：
$y^\prime = 2\arctan\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{4 + x^2}=\frac{4}{4 + x^2}\arctan\frac{x}{2}$

步骤四：求$dy$

根据微分公式$dy = y^\prime dx$，将$y^\prime = \frac{4}{4 + x^2}\arctan\frac{x}{2}$代入可得：
$dy = \frac{4}{4 + x^2}\arctan\frac{x}{2}dx$
与题目所给的$dy$一致，所以该说法是对的。