下列区间中，使方程 x^3 - 4x^2 + 1 = 0 至少有一个根的区间是A. (1, 2)B. (2, 3)C. (0, 1)D. (0, (1)/(2))
下列区间中，使方程 $x^3 - 4x^2 + 1 = 0$ 至少有一个根的区间是 A. $(1, 2)$ B. $(2, 3)$ C. $(0, 1)$ D. $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
题目解答
答案
我们要求判断方程
$x^3 - 4x^2 + 1 = 0$
在哪个区间中至少有一个实根。
我们可以使用介值定理（Intermediate Value Theorem）来判断：
如果函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号（即一正一负），
那么在开区间 $ (a, b) $ 内至少存在一个实根。
第一步：定义函数
令
$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$
这是一个多项式函数，处处连续，满足介值定理的条件。
我们只需在各个选项的区间端点计算函数值，看是否变号。
选项 A：$(1, 2)$
计算 $ f(1) $ 和 $ f(2) $：
- $ f(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 $
- $ f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7 $
两者都为负，没有变号，所以不能确定在 $ (1,2) $ 内有根。
（注意：不能排除有两个根的可能，但介值定理无法保证有根）
→ 排除 A
选项 B：$(2, 3)$
- $ f(2) = -7 $（已算）
- $ f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 1 = 27 - 36 + 1 = -8 $
都是负数，没有变号。
→ 排除 B
选项 C：$(0, 1)$
- $ f(0) = 0^3 - 4\cdot0^2 + 1 = 1 $
- $ f(1) = -2 $（已算）
$ f(0) = 1 > 0 $，$ f(1) = -2 < 0 $，符号由正变负，函数连续，
根据介值定理，在 $ (0,1) $ 内至少有一个实根。
→ C 是正确答案的候选
选项 D：$\left(0, \frac{1}{2}\right)$
我们检查这个区间是否也可能有根，但题目只要求“至少有一个根”的区间，可能有多个正确，但通常单选。
计算：
- $ f(0) = 1 > 0 $
- $ f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{8} - 4 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} - 1 + 1 = \frac{1}{8} > 0 $
所以 $ f(0) = 1 > 0 $，$ f(0.5) = 0.125 > 0 $，没有变号，
因此在 $ (0, 0.5) $ 内无法保证有根
→ 排除 D
结论：
只有选项 C：$(0,1)$ 满足函数值在端点异号，
因此根据介值定理，方程在该区间至少有一个实根。
答案：
$\boxed{\text{C}}$
解析
本题考查知识点为函数零点存在定理（介值定理）的应用。解题思路是先明确函数零点存在定理的内容，即如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号（即$f(a)\cdot f(b)<0$），那么在开区间$(a,b)$内至少存在一个实根。然后定义函数$f(x)=x^3 - 4x^2 + 1$，由于它是多项式函数，在$R$上处处连续，满足零点存在定理的条件。接着分别计算函数在各个选项区间端点的值，判断是否异号。
- 选项A：$(1, 2)$
计算$f(1)$和$f(2)$的值：
$f(1)=1^3 - 4\times1^2 + 1=1 - 4 + 1=-2$
$f(2)=2^3 - 4\times2^2 + 1=8 - 16 + 1=-7$
因为$f(1)= -2<0$，$f(2)= -7<0$，$f(1)$与$f(2)$同号，不满足零点存在定理，所以不能确定在$(1,2)$内有根，排除A选项。 - 选项B：$(2, 3)$
已知$f(2)= -7$，计算$f(3)$的值：
$f(3)=3^3 - 4\times3^2 + 1=27 - 36 + 1=-8$
因为$f(2)= -7<0$，$f(3)= -8<0$，$f(2)$与$f(3)$同号，不满足零点存在定理，所以不能确定在$(2,3)$内有根，排除B选项。 - 选项C：$(0, 1)$
计算$f(0)$和$f(1)$的值：
$f(0)=0^3 - 4\times0^2 + 1=1$
$f(1)= -2$（前面已算）
因为$f(0)= 1>0$，$f(1)= -2<0$，$f(0)$与$f(1)$异号，满足零点存在定理，所以在$(0,1)$内至少有一个实根，C选项正确。 - 选项D：$(0, \frac{1}{2})$
计算$f(0)$和$f(\frac{1}{2})$的值：
$f(0)= 1$（前面已算）
$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^3 - 4\times(\frac{1}{2})^2 + 1=\frac{1}{8}-4\times\frac{1}{4}+1=\frac{1}{8}-1 + 1=\frac{1}{8}$
因为$f(0)= 1>0$，$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}>0$，$f(0)$与$f(\frac{1}{2})$同号，不满足零点存在定理，所以不能确定在$(0,\frac{1}{2})$内有根，排除D选项。