题目

2. 不定积分int(x^2)/(1+x^2)dx=____.

2. 不定积分$\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx=$____.

题目解答

答案

将被积函数分解为：
$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(1+x^2) - 1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$
然后分别积分：
$\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = x - \arctan x + C$
其中 $C$ 为积分常数。

答案：
$\boxed{x - \arctan x + C}$

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行变形化简，然后利用不定积分的基本公式分别对化简后的各项进行积分。

  1. 对被积函数进行变形：
    已知被积函数为$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$，为了便于积分，将其变形为$\frac{(1 + x^{2}) - 1}{1 + x^{2}}$。
    根据分式的运算法则$\frac{a - b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}$，可得$\frac{(1 + x^{2}) - 1}{1 + x^{2}}=\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}-\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x^{2}}$。
  2. 分别对变形后的各项进行积分：
    根据不定积分的性质$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，对$\int(1 - \frac{1}{1 + x^{2}})dx$进行拆分，得到$\int 1dx - \int\frac{1}{1 + x^{2}}dx$。
    • 根据不定积分基本公式$\int kdx=kx + C$（$k$为常数），当$k = 1$时，$\int 1dx=x + C_1$。
    • 根据不定积分基本公式$\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C_2$。
  3. 合并积分结果：
    将上述两个积分结果相减，可得$\int(1 - \frac{1}{1 + x^{2}})dx=x + C_1 - (\arctan x + C_2)=x - \arctan x + (C_1 - C_2)$。
    令$C = C_1 - C_2$，$C$为积分常数，所以$\int\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx=x - \arctan x + C$。