求不定积分int dfrac(x+arctan x)(1+{x)^2}dx.

本题考查不定积分的计算，解题思路是将被积函数拆分成两个部分，分别对这两部分进行积分，最后将结果相加并加上积分常数。

1. 拆分被积函数：
   将$\int \dfrac{x+\arctan x}{1+x^{2}}dx$拆分成$\int \dfrac{x}{1+x^{2}}dx + \int \dfrac{\arctan x}{1+x^{2}}dx$。

2. 计算$\int \dfrac{x}{1+x^{2}}dx$：
   令$u = 1 + x^{2}$，则$du = 2xdx$，$xdx=\dfrac{1}{2}du$。
   将其代入积分式可得：
   $\int \dfrac{x}{1+x^{2}}dx=\int \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u}du$
   根据积分公式$\int \dfrac{1}{u}du=\ln|u| + C_1$，可得：
   $\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{u}du=\dfrac{1}{2}\ln|u| + C_1=\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + C_1$

3. 计算$\int \dfrac{\arctan x}{1+x^{2}}dx$：
   令$t = \arctan x$，则$dt = \dfrac{1}{1 + x^{2}}dx$。
   将其代入积分式可得：
   $\int \dfrac{\arctan x}{1+x^{2}}dx=\int tdt$
   根据积分公式$\int t^n dt=\dfrac{1}{n + 1}t^{n + 1} + C_2$（$n\neq -1$），这里$n = 1$，可得：
   $\int tdt=\dfrac{1}{2}t^{2} + C_2=\dfrac{1}{2}(\arctan x)^{2} + C_2$

4. 将两部分结果相加：
   $\int \dfrac{x+\arctan x}{1+x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + C_1 + \dfrac{1}{2}(\arctan x)^{2} + C_2$
   令$C = C_1 + C_2$，则最终结果为：
   $\int \dfrac{x+\arctan x}{1+x^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + \dfrac{1}{2}(\arctan x)^{2} + C$