5.（单选题，4.0分）设A为n阶可逆矩阵，则下列正确的命题是（）A. |A^*|=|A|B. |A^*|=|A|^*C. |A^*|=|A|^*-1D. |A^*|=|A|^*-2

本题考查可逆矩阵伴随矩阵的行列式性质。解题思路是先明确可逆矩阵伴随矩阵与原矩阵的关系，再通过取行列式并利用行列式的性质进行计算，最后将计算结果与各选项进行对比。

1. 首先明确可逆矩阵 $A$ 与其伴随矩阵 $A^*$ 的关系：
   • 对于 $n$ 阶可逆矩阵 $A$，有 $A^* = |A|A^{-1}$。这是伴随矩阵的一个重要性质，它建立了伴随矩阵与原矩阵及其逆矩阵之间的联系。
2. 然后对等式两边取行列式：
   • 对 $A^* = |A|A^{-1}$ 两边取行列式，得到 $|A^*| = ||A|A^{-1}|$。
3. 接着利用行列式的性质进行化简：
   • 根据行列式的性质：若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 为常数，则 $|kA| = k^n|A|$。在这里 $k = |A|$，所以 $||A|A^{-1}| = |A|^n|A^{-1}|$。
   • 又因为 $A$ 可逆，根据逆矩阵的行列式性质 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$，则 $|A|^n|A^{-1}| = |A|^n\cdot\frac{1}{|A|}$。
   • 对 $|A|^n\cdot\frac{1}{|A|}$ 进行化简，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得 $|A|^n\cdot\frac{1}{|A|}=|A|^{n - 1}$，即 $|A^*| = |A|^{n - 1}$。
4. 最后分析各选项：
   • 选项A：$|A^*| = |A|$，与我们计算得到的 $|A^*| = |A|^{n - 1}$ 不符，所以选项A错误。
   • 选项B：$|A^*| = |A|^*$，这里 $|A|^*$ 无明确意义，所以选项B错误。
   • 选项C：$|A^*| = |A|^* - 1$，同样 $|A|^*$ 无明确意义，所以选项C错误。
   • 选项D：原表述有笔误，应理解为 $|A^*| = |A|^{n - 1}$，与我们的计算结果一致，所以选项D正确。