求函数 u = xy^2 + z^3 - xyz 在点 (1,1,2) 处沿方向角为 alpha = (pi)/(3) ， beta = (pi)/(4) ， gamma = (pi)/(3) 的方向的方向导数为()A. 5B. 2C. 1D. 3

本题考查方向导数的计算，解题思路是先求出函数在给定点处的偏导数，再根据方向角得到方向向量的单位向量，最后利用方向导数的计算公式求解。

1. 求函数$u = xy^2 + z^3 - xyz$在点$(1,1,2)$处的偏导数：
   • 对$x$求偏导数：
     根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2 - yz$。
     将点$(1,1,2)$代入$\frac{\partial u}{\partial x}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{(1,1,2)}=1^2 - 1\times2=-1$。
   • 对$y$求偏导数：
     同理可得$\frac{\partial u}{\partial y}=2xy - xz$。
     将点$(1,1,2)$代入$\frac{\partial u}{\partial y}$，可得$\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{(1,1,2)}=2\times1\times1 - 1\times2=0$。
   • 对$z$求偏导数：
     同理可得$\frac{\partial u}{\partial z}=3z^2 - xy$。
     将点$(1,1,2)$代入$\frac{\partial u}{\partial z}$，可得$\frac{\partial u}{\partial z}\big|_{(1,1,2)}=3\times2^2 - 1\times1=11$。
2. 求方向向量的单位向量：
   已知方向角为$\alpha = \frac{\pi}{3}$，$\beta = \frac{\pi}{4}$，$\gamma = \frac{\pi}{3}$，根据方向余弦的定义，方向向量的单位向量$\vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。
   分别计算$\cos\alpha$，$\cos\beta$，$\cos\gamma$：
   $\cos\alpha=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\gamma=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$。
   所以单位向量$\vec{l}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$。
3. 计算方向导数：
   根据方向导数的计算公式$\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta + \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$，将$\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{(1,1,2)}=-1$，$\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{(1,1,2)}=0$，$\frac{\partial u}{\partial z}\big|_{(1,1,2)}=11$以及$\cos\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\gamma=\frac{1}{2}$代入可得：
   $\frac{\partial u}{\partial l}=-1\times\frac{1}{2}+0\times\frac{\sqrt{2}}{2}+11\times\frac{1}{2}=\frac{-1 + 11}{2}=5$。